流形
流形（Manifolds）是可以局部欧几里得空间的一个拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 $(0, 1)$ 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
流形
流形可以视为近看起来像欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平的。这是因为相对于地球来说人类实在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，尽管知道地球实际上差不多是一个圆球，如果只需要考虑其中微小的一部分上发生的事情，比如测量操场跑道的长度或进行房地产交易时，仍然把地面看成一个平面。一个理想的数学上的球面在足够小的区域上的特性就像一个平面，这表明它是一个流形。但是球面和平面的整体结构是完全不同的：如果在球面上沿一个固定方向走，最终会回到起点，而在一个平面上，可以一直走下去。
回到地球的例子。像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。如果将整个地球的各个地区的地图合订成一本地图集，那么在观看各个地区的地图后，就可以在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为了能让阅读者顺利从一张地图接到下一张，相邻的地图之间会有重叠的部分，以便在脑海里“粘合”两张图。类似地，在数学中，也可以用一系列“地图”（称为坐标图或坐标卡）组成的“地图集”（atlas, 亦称为图册）来描述一个流形。而“地图”之间重叠的部分在不同的地图里如何变换，则描述了不同“地图”的相互关系。
描述一个流形往往需要不止一个“地图”，因为一般来说流形并不是真正的欧几里得空间。举例来说，地球就没法用一张平面的地图来合适地描绘。
流形要求局部“看起来像”简单的空间，这不是一个简单的要求。例如，在球上吊一根线，这个整体就不是一个流形。包含了线和球连接的那一点的附近区域一定不是简单的：既不是线也不是面，无论这个区域有多小。
流形有很多种。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的种类包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。
拓扑流形
最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来像一些“普通”的欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$。形式化地讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧几里得空间的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚（连续双射其逆也连续）将它映射到 $\mathbb{R}^n$。 这些同胚是流形的坐标图。
通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯多夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯多夫的。
流形在某一点的维数就是该点映射到的欧几里得空间的维数（定义中的数字 $n$）。连通流形中的所有点有相同的维数。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧几里得空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维数。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维数。
微分流形
很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。
黎曼流形
黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随 $p$ 平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。
每个 $\mathbb{R}^n$ 的平滑子流形可以导出黎曼度量：把 $\mathbb{R}^n$ 的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和 $\mathbb{R}^n$ 的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从 $\mathbb{R}^n$ 导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：
如果$\gamma: [a, b] \to M$ 是黎曼流形 $M$ 中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度 $L(\gamma)$ 为
$$
L(\gamma) = \int_a^b \left \Vert \gamma^{\prime}(t) \right \Vert \mathrm{d}t.
$$
（注意：$\gamma^{\prime}(t)$ 是切空间 $M$ 在 $\gamma(t)$ 点的元素；$\left \Vert \cdot \right \Vert$ 是切空间的内积所得出的范数。）
使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形 $M$ 很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在 $x$ 与 $y$ 两点之间的距离$d(x,y)$ 定义为：
$$
d(x,y) = \inf \lbrace L(\gamma): \gamma 是连接 x 和 y 的一条光滑曲线 \rbrace.
$$
虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。
在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是 Hopf-Rinow 定理的内容。
