在前面,介绍了上和S(T)和下和s(T),即对于分割T:a=x0<x1<<xn=b,以及Δi=[xi1,xi],Δxi=xixi1,有

S(T)=i=1nMiΔxi

s(T)=i=1nmiΔxi

其中Mi=supxΔif(x),mi=infxΔif(x),i=1,2,,n. 因为可积必有界,假设f[a,b]上有界,因此,Mi,mi分别有上、下确界M,m,而且对于任何ξiΔi,有

m(ba)s(T)i=1nf(ξi)ΔxiS(T)M(ba).

上和与下和的性质

性质 1 对同一个分割T,相对于任何点集ξi而言,上和是所有积分和的上确界,下和是所有积分和的下确界,即

S(T)=sup|ξi|i=1nf(ξi)Δxi,s(T)=inf|ξi|i=1nf(ξi)Δxi.

性质 2T为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则有
S(T)S(T)S(T)(Mm)p|T|,s(T)s(T)s(T)+(Mm)p|T|.

增加分点后,上和不增,下和不减。

性质 3TT为任意两个分割,T=T+T 表示把TT的所有分点合并而得到的分割(注意:重复的分点只取一次),则

S(T)S(T)s(T)s(T),S(T)S(T),s(T)s(T).

性质 4 对任意两个分割TT,总有
s(T)s(T)S(T)S(T).

性质 5 m(ba)sSM(ba).

性质 6 (达布定理)上、下积分也是上和与下和在|T|0时的极限,即

lim|T|0S(T)=S,lim|T|0s(T)=s.

可积的充要条件

定理 9.14 (可积的第一充要条件)函数f[a,b]上可积的充要条件是f[a,b]上的上积分与下积分相等,即

S=s.

定理 9.15 (可积的第二充要条件)函数f[a,b]上可积的充要条件是任给ε>0,总存在某一分割T,使得
S(T)s(T)<ε,


i=1nωiΔxi<ε.

定理 9.16 (可积的第三充要条件)函数f[a,b]上可积的充要条件是任给正数ε,η,总存在某一分割T,使得属于T的所有小区间中,对应于振幅ωkε的那些小区间Δk的总长kΔxk<η.