可积性理论补叙

在前面，介绍了上和$S(T)$和下和$s(T)$，即对于分割$T:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，以及${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i],\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$，有

$$S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$$

$$s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中$M_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{sup}f(x),m_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{inf}f(x),i=1,2,\cdots ,n$. 因为可积必有界，假设$f$在$[a,b]$上有界，因此，$M_i,m_i$分别有上、下确界$M,m$，而且对于任何${\xi }_i\in {\mathrm{\Delta }}_i$，有

$$m(b-a)\le s(T)\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le S(T)\le M(b-a).$$

上和与下和的性质

性质 1 对同一个分割$T$，相对于任何点集${\xi }_i$而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界，即

$$\begin{gathered} S(T)=\underset{|{\xi }_i|}{sup}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i, \\ s(T)=\underset{|{\xi }_i|}{inf}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i. \end{gathered}$$

性质 2 设$T^{\prime }$为分割$T$添加$p$个新分点后所得到的分割，则有

$$\begin{gathered} S(T)\ge S(T^{\prime })\ge S(T)-(M-m)p|T|, \\ s(T)\le s(T^{\prime })\le s(T)+(M-m)p|T|. \end{gathered}$$

增加分点后，上和不增，下和不减。

性质 3 若$T^{\prime }$与$T^{\prime \prime }$为任意两个分割，$T=T^{\prime }+T^{\prime \prime }$ 表示把$T^{\prime }$与$T^{\prime \prime }$的所有分点合并而得到的分割（注意：重复的分点只取一次），则

$$\begin{gathered} S(T)\le S(T^{\prime })，s(T)\ge s(T^{\prime }), \\ S(T)\le S(T^{\prime \prime }),s(T)\ge s(T^{\prime \prime }). \end{gathered}$$

性质 4 对任意两个分割$T^{\prime }$与$T^{\prime \prime }$，总有

$$s(T^{\prime })\le s(T)\le S(T)\le S(T^{\prime \prime }).$$

性质 5 $m(b-a)\le s\le S\le M(b-a).$

性质 6 （达布定理）上、下积分也是上和与下和在$|T|\to 0$时的极限，即

$$\underset{|T|\to 0}{lim}S(T)=S,\underset{|T|\to 0}{lim}s(T)=s.$$

可积的充要条件

定理 9.14 （可积的第一充要条件）函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是$f$在$[a,b]$上的上积分与下积分相等，即

$$S=s.$$

定理 9.15 （可积的第二充要条件）函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是任给$\epsilon >0$，总存在某一分割$T$，使得

$$S(T)-s(T)<\epsilon ,$$

即

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon .$$

定理 9.16 （可积的第三充要条件）函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是任给正数$\epsilon ,\eta$，总存在某一分割$T$，使得属于$T$的所有小区间中，对应于振幅${\omega }_{k^{\prime }}\ge \epsilon$的那些小区间${\mathrm{\Delta }}_{k^{\prime }}$的总长$\sum _{k^{\prime }}\mathrm{\Delta }{x}_{k^{\prime }}<\eta .$