牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式不仅为定积分提供了一个有效的计算方法，而且是联系不定积分和定积分的桥梁。

定理 9.1 若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且存在原函数 $F$，即 $F^{\prime }(x)=f(x),x\in [a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也常写作

$${{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x)|}_a^b.$$

证明（拉格朗日中值定理和定积分定义）由定积分定义，任给 $\epsilon >0$，需要证明存在 $\delta >0$，当 $\left|T\right|<\delta$ 时，有

$$|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-[F(b)-F(a)]|<\epsilon .$$

事实上，对于 $[a,b]$ 的任一分割 $T=a=x_0,x_1,\cdots ,x_n=b$，在每一个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上对 $F(x)$ 使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ${\eta }_i\in (x_{i-1},x_i),i=1,2,\cdots ,n$，使得

$$\begin{gathered} F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})] \\ =\sum _{i=1}^n{F}^{\prime }({\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum _{i=1}^{n}f({\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i. \end{gathered}$$

因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，从而一致连续，所以对上述 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，有

$$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}.$$

于是，当 $\mathrm{\Delta }{x}_i\le \left|T\right|<\delta$ 时，任取 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，便有 $|{\xi }_i-{\eta }_i|<\delta$，这就证明

$$\begin{gathered} |\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-[F(b)-F(a)]| \\ =|\sum _{i=1}^n[f({\xi }_i)-f({\eta }_i)]\mathrm{\Delta }{x}_i| \\ \le \sum _{i=1}^n|f({\xi }_i)-f({\eta }_i)|\mathrm{\Delta }{x}_i \\ <\frac{\epsilon }{b-a}\cdot \sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i=\epsilon . \end{gathered}$$

所以，$f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且有牛顿-莱布尼茨公式成立。

注意 定理的条件可适当减弱，

1. 对 $F$ 的要求可减弱为：在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且 $F^{\prime }(x)=f(x),x\in (a,b)$
2. 对 $f$ 的要求可减弱为：在 $[a,b]$ 上可积
3. 其实，连续函数必有原函数，因此，定理中“且存在原函数”要求可以省略

例题

证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$F$ 在 $[a,b]$ 上连续，且除有限个点外有 $F^{\prime }=f(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$