换元积分和分部积分

这节讲求不定积分的方法，包括换元积分法和分部积分法。其中换元积分法是利用复合函数求导法得到，分部积分法是利用乘积求导法得到。

换元积分

定理 8.4   （换元积分法）  设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，$\phi (t)$在区间$J$上可导，且$\phi (J)\subset I$.

1. 如果不定积分$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$在$I$上存在，则不定积分$\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$在$J$上也存在，且
   

   $$\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(\phi (t))+C.$$

2. 如果$x=\phi (t)$在$J$上存在反函数$t={\phi }^{-1}(x),x\in I$，且不定积分$\int f(x)\mathrm{d}x$在$I$上存在，则当不定积分$\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=G(t)+C$在$J$上存在时，在$I$上有
   

   $$\int f(x)\mathrm{d}x=G({\phi }^{-1}(x))+C.$$

上述两个条分别反映了正、负两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法，相应的换元公式称为第一换元公式和第二换元公式。

分部积分

定理 8.5   （分部积分法）  若$u(x)$与$v(x)$可导，不定积分$\int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$在，则$\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$也存在，并有

$$\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x.$$

该公式称为分部积分公式，可以简写为$\int udv=uv-\int vdu$.