上极限和下极限

上极限和下极限是针对数列而言的，需谨慎考虑数集或点集。

定义 1 &emsp; 若在数 $a$ 的任一领域内含有数列 ${x_{n}}$ 的无限多个项，则称 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 的一个聚点。

当不区分实数与数轴上的点的情况下，点列的聚点等同于数列的聚点，也称为极限点。需要说明的是，点集和数集的聚点不能叫作极限点。

点列的聚点就是其收敛子列的极限。

定理 7.4 &emsp; 有界点列（数列） ${x_{n}}$ 至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。

定义 2 &emsp; 有界数列（点列） ${x_{n}}$ 的最大聚点 $\overset{―}{A}$ 与最小聚点 $\underset{―}{A}$ 分别称为 ${x_{n}}$ 的上极限与下极限，记作

\overset{―}{A} = \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} x_{n}, \underset{―}{A} = \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} x_{n} .

这里需要注意下极限的书写方法。

定理 7.5 &emsp; 对任何有界数列 ${x_{n}}$ 有

\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} x_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} x_{n} .

定理 7.6 &emsp; 对于数列

{x_{n}}

，

lim_{n \to \infty} x_{n} = A

的充要条件是

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} x_{n} = \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} x_{n} = A

定理 7.7 &emsp; 设

{x_{n}}

为有界数列，

$\overset{―}{A}$ 为 ${x_{n}}$ 上极限的充要条件是：任给 $ε > 0$ ，

i. 存在 $N > 0$ ，使得当 $n > N$ 时有 $x_{n} < \overset{―}{A} + ε$ ;

ii. 存在子列 ${x_{n_{k}}}$ 满足 $x_{n_{k}} > \overset{―}{A} - ε, k = 1, 2, \dots .$
$\underset{―}{A}$ 为 ${x_{n}}$ 下极限的充要条件是：任给 $ε > 0$ ，

i. 存在 $N > 0$ ，使得当 $n > N$ 时有 $x_{n} > \underset{―}{A} - ε$ ；

ii. 存在子列 ${x_{n_{k}}}$ 满足 $x_{n_{k}} < \underset{―}{A} + ε, k = 1, 2, \dots .$

该定理的另一种表述形式如下：

定理 ${7.7}^{'}$ &emsp; 设 ${x_{n}}$ 为有界数列，

$\overset{―}{A}$ 为上极限的充要条件是对任何 $α > \overset{―}{A}$ ， ${x_{n}}$ 中大于 $α$ 的项至多有有限个；对任何 $β < \overset{―}{A}$ ， ${x_{n}}$ 中大于 $β$ 的项有无限个。
$\underset{―}{A}$ 为下极限的充要条件是对任何 $α < \underset{―}{A}$ ， ${x_{n}}$ 中小于 $α$ 的项至多有有限个；对任何 $β > \underset{―}{A}$ ， ${x_{n}}$ 中小于 $β$ 的项有无限个。

定理 7.8 &emsp; （上、下极限的保不等式性）&emsp; 设有界数列 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 满足：存在 $N_{0} > 0$ ，当 $n > N_{0}$ 时，有 $a_{n} \leq b_{n}$ ，则

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} b_{n}, \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} b_{n} .

特别地，若

α, β

为常数，又存在

N_{0} > 0

，当

n > N_{0}

时有

α \leq a_{n} \leq β

，则

α \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} a_{n} \leq β .

假设

{a_{n}}

{b_{n}}

为有界数列，则

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} (a_{n} + b_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} a_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} b_{n} .

下面给出一个非常重要的定理，该定理在实变函数中也会出现。

定理 7.9&emsp; 设 ${x_{n}}$ 为有界数列，

$\overset{―}{A}$ 为 ${x_{n}}$ 上极限的充要条件是
$\overset{―}{A} = lim_{n \to \infty} sup_{k \geq n} {x_{k}}$
$\underset{―}{A}$ 为 ${x_{n}}$ 下极限的充要条件是
$\underset{―}{A} = lim_{n \to \infty} inf_{k \geq n} {x_{k}}$

一些事实：

设 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 为有界数列，则
1. $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} a_{n} = - \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} (- a_{n});$
2. $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} a_{n} + \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} b_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (a_{n} + b_{n});$
3. 若 $a_{n} > 0, b_{n} > 0 (n = 0, 1, 2, \dots)$ ，则
  $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} a_{n} \cdot \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} b_{n} \leq \underset{n \to \infty}{\lim_{―}} (a_{n} \cdot b_{n});$
  
  $\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} a_{n} \cdot \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} b_{n} \geq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} (a_{n} \cdot b_{n});$
4. 若 $a_{n} > 0, {\lim_{―}}_{n \to \infty} a_{n} > 0$ ，则
  $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{{\lim_{―}}_{n \to \infty} a_{n}} .$
若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 ${\lim^{―}}_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n}$ .
若 $a_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)$ 且 ${\lim^{―}}_{n \to \infty} a_{n} \cdot {\lim^{―}}_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 收敛。

例题

设 ${\lim_{―}}_{n \to \infty} x_{n} = A < B = {\lim^{―}}_{n \to \infty} x_{n}$ 且 $lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) = 0$ ，则 $x_{n}$ 的聚点全体恰为闭区间 $[A, B]$ .