上极限和下极限是针对数列而言的,需谨慎考虑数集或点集。

定义 1   若在数a的任一领域内含有数列{xn}的无限多个项,则称a为数列{xn}的一个聚点。

当不区分实数与数轴上的点的情况下,点列的聚点等同于数列的聚点,也称为极限点。需要说明的是,点集和数集的聚点不能叫作极限点

点列的聚点就是其收敛子列的极限

定理 7.4   有界点列(数列){xn}至少有一个聚点,且存在最大聚点和最小聚点。

定义 2   有界数列(点列){xn}的最大聚点A与最小聚点A分别称为{xn}的上极限与下极限,记作

A=limnxn,A=limnxn.

这里需要注意下极限的书写方法

定理 7.5   对任何有界数列{xn}

limnxnlimnxn.

定理 7.6   对于数列{xn}
limnxn=A

的充要条件是
limnxn=limnxn=A

定理 7.7   设{xn}为有界数列,

  1. A{xn}上极限的充要条件是:任给ε>0

    i. 存在N>0,使得当n>N时有xn<A+ε;

    ii. 存在子列{xnk}满足xnk>Aε, k=1,2,.

  2. A{xn}下极限的充要条件是:任给ε>0

    i. 存在N>0,使得当n>N时有xn>Aε

    ii. 存在子列{xnk}满足xnk<A+ε, k=1,2,.

该定理的另一种表述形式如下:

定理 7.7 &emsp; 设{xn}为有界数列,

  1. A为上极限的充要条件是对任何α>A{xn}中大于α的项至多有有限个;对任何β<A{xn}中大于β的项有无限个。
  2. A为下极限的充要条件是对任何α<A{xn}中小于α的项至多有有限个;对任何β>A{xn}中小于β的项有无限个。

定理 7.8 &emsp; (上、下极限的保不等式性)&emsp; 设有界数列{an}, {bn}满足:存在N0>0,当n>N0时,有anbn,则

limnanlimnbn, limnanlimnbn.

特别地,若α,β为常数,又存在N0>0,当n>N0时有αanβ,则
αlimnanlimnanβ.

假设{an},{bn}为有界数列,则
limn(an+bn)limnan+limnbn.

下面给出一个非常重要的定理,该定理在实变函数中也会出现。

定理 7.9&emsp; 设{xn}为有界数列,

  1. A{xn}上极限的充要条件是

    A=limnsupkn{xk}

  2. A{xn}下极限的充要条件是

    A=limninfkn{xk}

一些事实:

  1. {an}, {bn}为有界数列,则

    1. limnan=limn(an);

    2. limnan+limnbnlimn(an+bn);

    3. an>0,bn>0 (n=0,1,2,),则

      limnanlimnbnlimn(anbn);

      limnanlimnbnlimn(anbn);

    4. an>0, limnan>0,则

      limn1an=1limnan.

  2. {an}为递增数列,则limnan=limnan.

  3. an>0 (n=1,2,)limnanlimn1an=1,则数列{an}收敛。

例题

limnxn=A<B=limnxnlimn(xn+1xn)=0,则xn的聚点全体恰为闭区间[A,B].

提示:采用反证法。