上极限和下极限
上极限和下极限是针对数列而言的,需谨慎考虑数集或点集。
定义 1   若在数
当不区分实数与数轴上的点的情况下,点列的聚点等同于数列的聚点,也称为极限点。需要说明的是,点集和数集的聚点不能叫作极限点。
点列的聚点就是其收敛子列的极限。
定理 7.4   有界点列(数列)
定义 2   有界数列(点列)
这里需要注意下极限的书写方法。
定理 7.5   对任何有界数列
定理 7.6   对于数列
的充要条件是
定理 7.7   设
为 上极限的充要条件是:任给 ,i. 存在
,使得当 时有 ;ii. 存在子列
满足 为 下极限的充要条件是:任给 ,i. 存在
,使得当 时有 ;ii. 存在子列
满足
该定理的另一种表述形式如下:
定理
为上极限的充要条件是对任何 , 中大于 的项至多有有限个;对任何 , 中大于 的项有无限个。 为下极限的充要条件是对任何 , 中小于 的项至多有有限个;对任何 , 中小于 的项有无限个。
定理 7.8   (上、下极限的保不等式性)  设有界数列
特别地,若
假设
下面给出一个非常重要的定理,该定理在实变函数中也会出现。
定理 7.9  设
为 上极限的充要条件是 为 下极限的充要条件是
一些事实:
设
, 为有界数列,则若
,则若
,则
若
为递增数列,则 .若
且 ,则数列 收敛。
例题
设
提示:采用反证法。
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