实数集的完备性

在数学分析中，实数集的完备性表现为六个定理，分别是实数集合的确界原理、数列的单调有界定理、区间套定理、数列的致密性定理与聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。 它们称为实数完备性基本定理。

区间套定理

定义 1   设闭区间列$[a_n,b_n]$具有如下性质：

  1. $[a_n,b_n]\supset [a_{n+1},b_{n+1}],n=1,2,\cdots$;

  2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$,

则称$[a_n,b_n]$为闭区间套，简称为区间套。

定理 7.1   （区间套定理）  若$[a_n,b_n]$是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一个点$\xi$，使得$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,\cdots$，即

$$a_n\le \xi \le b_n,n=1,2,\cdots .$$

推论   若$\xi \in [a_n,b_n],(n=1,2,\cdots )$是区间套$[a_n,b_n]$所确定的点，则对任给的$\epsilon >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时有

$$[a_n,b_n]\subset U(\xi ;\epsilon ).$$

注意：这里的区间套是闭区间。

聚点定理

定义 2   设$S$为数轴上的点集，$\xi$为定点（它可以属于$S$，也可以不属于$S$）。若$\xi$的任何邻域上都含有$S$中无穷多个点，则称$\xi$为点集$S$的一个聚点。

另外两个等价定义：

定义 $2^{\prime }$   对于点集$S$，若点$\xi$的任何$\epsilon$邻域上都含有$S$中异于$\xi$的点，即$U^o(\xi ;\epsilon )\cap S\ne \varnothing$，则称$\xi$为$S$的一个聚点。

定义$2^{\prime \prime }$   若存在各项互异的收敛数列$x_n\subset S$，则其极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\xi$称为$S$的一个聚点。

定理 7.2   (魏尔斯特拉斯（Weierstrass）聚点定理)   实轴上的任一有界无限点集$S$至少有一个聚点。

开覆盖定理

定义 3   设$S$为数轴上的点集，$H$为开区间的集合（即$H$的每一个元素都是形如$(\alpha ,\beta )$的开区间）。若$S$中任何一点都含在$H$中至少一个开区间内，则称$H$为$S$的一个开覆盖，或称$H$覆盖$S$。若$H$中开区间的个数是无限（有限）的，则称$H$为$S$的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。

定理 7.3   (海涅-博雷尔（Heine-Borel）有限覆盖定理)   设$H$为闭区间$[a,b]$的一个（无限）开覆盖，则从$H$中可选出有限个开区间来覆盖$[a,b]$.

注意：涉及到有限开覆盖定理首先尝试反证法 。