极值

定理 6.11 （极值的第一充分条件）

设$f$在点$x_0$连续，在某领域$U^o(x_0;\delta)$上可导。

  1. 若当$x\in (x_0 -\delta, x_0)$时$f^{\prime}(x)\leq 0$，当$x\in(x_0, x_0+\delta)$时$f^{\prime}(x)\geq 0$，则$f$在点$x_0$取得极小值。

  2. 若当$x\in(x_0 - \delta, x_0)$时$f^{\prime}\geq 0$，当$x\in(x_0, x_0+\delta)$时$f^{\prime}(x)\leq 0$，则$f$在点$x_0$取得极大值。

定理 6.12（极值的第二充分条件）

设$f$在$x_0$的某领域$U(x_0; \delta)$$ 上一阶可导，在$$x=x_0$$处二阶可导，且$$f^{\prime}(x_0) = 0, f^{(2)}(x_0)\neq 0$.

  1. 若$f^{(2)}(x_0)<0$$，则$$f$$在$$x_0$取得极大值。
  2. 若$f^{(2)}(x_0)>0$，则$f$在$x_0$取得极小值。

最重要的表达技巧:
$$
f(x) - f(x_0) \
= \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)
= (\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}+o(1))(x-x_0)^2
$$

此时，$f(x)-f(x_0)$的符号与$\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}$相同，因为$o(1)$为高阶无穷小

定理 6.13 （极值的第三充分条件）

设$f$在$x_0$的某领域内存在直到$n-1$阶导函数，在$x_0$处$n$阶可导，且$f^{(k)}(x_0)=0\quad (k=1,2,\cdots, n-1), f^{(n)}(x_0)\neq 0$，则

  1. 当$n$为偶数时，$f$在$x_0$取得极值，且当$f^{(n)}(x_0)< 0$时取得极大值，$f^{(n)}(x_0)>0$时取极小值。
  2. 当$n$为奇数时，$f$在$x_0$处不取极值。

注意：不满足充分条件的函数在某点也可能去极值，如下函数在$x=0$处无限次可求导且导数值为0，不满足极值的三个充分条件的任意一个，但是，在$x=0$处该函数取极小值，也是最小值。
$$
f(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}},\quad x\neq 0 \\
0,\quad\quad x=0
\end{cases}
$$

最值

寻找最值只需在稳定点（可导且$f^{\prime}(x)=0$的点）、不可导点、区间端点处寻找。

函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^{\frac{3}{2}}\sin(\frac{1}{x}),\quad x\neq 0 \\
0,\quad\quad\quad\quad x=0
\end{cases}
$$
的导函数$f^{\prime}(x)$在$x=0$处不连续，因此只能是第二类间断点。因为，导函数只能是第二类间断点，不能是第一类间断点（可取间断点和跳跃间断点）。因此，如果导函数有界，则导函数连续。

定理 设$f(x)$在区间$I$上连续，并且在$I$上仅有唯一的极值点$x_0$，则若$x_0$是$f$的极大值点（极小值点），则$x_0$必是$f(x)$在$I$上的最大值点（最小值点）